[IVA] Chapter 2, Section 6, Exercise 1 and 7

Exercise 1

$I = \{0\}$ なら、$g=0$, $r=f$ として終わり。
$I \neq \{0\}$ とする。Section 5 Corollary 6 より$I$はグレブナー基底 $G=\{g_1, g_2, \cdots, g_t\}$ を持ち、グレブナー基底の定義より、$\langle \mathrm{LT}(g_1), \cdots, \mathrm{LT}(g_t) \rangle = \langle \mathrm{LT}(I) \rangle$.
すると Section 6 Proposition 1 の前提を見たいしているから成立。

Exercise 7

$$S(f,g) = \frac{x^\gamma}{\mathrm{LT}(f)}f -  \frac{x^\gamma}{\mathrm{LT}(g)}g $$

$$x_\gamma = \mathrm{LCM}(\mathrm{LM}(f), \mathrm{LM}(g))$$

$f = a_\alpha x^\alpha + \sum_{\alpha' < \alpha} a_{\alpha'} x^{\alpha'}$,
$g = a_\beta x^\beta + \sum_{\beta' < \beta} a_{\beta'} x^{\beta'}$ と書けるから

$$S(f,g) = \frac{x^\gamma}{a_\alpha x^\alpha}( a_\alpha x^\alpha + \sum_{\alpha' < \alpha} a_{\alpha'} x^{\alpha'}) - \frac{x^\gamma}{a_\beta x^\beta}( a_\beta x^\beta + \sum_{\beta' < \beta} a_{\beta'} x^{\beta'})$$

$$= \sum_{\alpha' < \alpha} \frac{a_{\alpha'}}{a_\alpha} x^{\gamma - \alpha + \alpha'} +  \sum_{\beta' < \beta}\frac{a_{\beta'}}{a_\beta} x^{\gamma - \beta + \beta'} = \sum_{\gamma' < \gamma}c_{\gamma'} x^{\gamma'}$$

よって $\mathrm{multideg}(f,g) < \gamma$.